已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R)(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.(2)是否存...

问题详情：

已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R)

(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.

(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.

【回答】

【解析】(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex,

当f′(x)>0时,解得x<-2或x>-1,

当f′(x)<0时,解得-2<x<-1,

所以函数的单调增区间为(-∞,-2),(-1,+∞);单调减区间为(-2,-1).

(2)f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0,

所以x=-a,或x=-2,

列表如下:因为a≤2,所以-a≥-2.

由表可知

f(x)极大=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,

解得a=4-3e2≤2,所以存在实数a≤2,使f(x)的极大值为3.

知识点：导数及其应用

题型：解答题