已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．求f（x）的单调区...

问题详情：

已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．求f（x）的单调区间和极大值．

【回答】

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】由条件f（1）=2，f′（1）=0求得a、b，再利用导数求出单调区间，从而求解．

【解答】解．由奇函数定义，有f（﹣x）=﹣f（x），x∈R．即﹣ax3﹣cx+d=﹣ax3﹣cx﹣d，∴d=0因此，f（x）=ax3+cx，

 f′（x）=3ax2+c

由条件f（1）=2为f（x）的极值，必有f′（1）=0

故  ，解得 a=1，c=﹣3

因此f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（﹣∞，﹣1）上是增函数．

当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（﹣1，1）上是减函数．

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间∈（1，+∞）上是增函数．

所以，f（x）的极大值为f（﹣1）=2．

知识点：导数及其应用

题型：解答题