已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x...

问题详情：

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：

①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；

②函数f（x）有2个零点；

③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），

④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

【回答】

C【考点】3L：函数奇偶*的*质．

【分析】①根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），

②从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，

③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，从而判断出③的正误，

④可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调*，根据单调*即可求出f（x）的值域，这样便可得出∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．

【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；

∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；

∴故①错误，

②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；

又f（0）=0；

∴f（x）有3个零点；

故②错误，

③当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；

即x＜﹣1，

当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；

得0＜x＜1，

∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；

故③正确，

④当x＜0时，f′（x）=ex（x+2）；

∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；

∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；

∴f（x）＜f（0）=1；

即﹣e﹣2＜f（x）＜1；

当x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；

∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；

x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；

∴f（x）＞f（0）=﹣1；

∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；

∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；

∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；

故④正确，

∴正确的命题为③④．

故选：C

知识点：函数的应用

题型：选择题