已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3...

问题详情：

已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=﹣2．

（1）试判定该函数的奇偶*；

（2）试判断该函数在R上的单调*；

（3）求f（x）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．

【回答】

解（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），

∴f（0）=0．

令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数．

（2）任取x1＜x2，则x2﹣x1＞0，

∴f（x2﹣x1）＜0，

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，

即f（x2）＜f（x1），

∴f（x）为R上的减函数，

（3）∵f（x）在[﹣12，12]上为减函数，

∴f（12）最小，f（﹣12）最大，

又f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=﹣8，

∴f（﹣12）=﹣f（12）=8，

∴f（x）在[﹣12，12]上的最大值是8，最小值是﹣8

知识点：*与函数的概念

题型：解答题