已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x...
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已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为( )
A.2﹣5 B.﹣5 C.2+5 D.5
【回答】
A【考点】抽象函数及其应用.
【分析】由条件可令x=y=0,求得f(0)=0,再由f(x)为单调函数且满足的条件,将f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0化为f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),可得x2+y2+2x+8y+5=0,*后,再令x=﹣1+2cosα,y=﹣4+2sinα(α∈(0,2π)),运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域,即可得到所求最大值.
【解答】解:对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,
动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,
即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),
由函数f(x)是定义在R上的单调函数,
可得x2+y2+2x+8y+5=0,
化为(x+1)2+(y+4)2=12,
可令x=﹣1+2cosα,y=﹣4+2sinα(α∈(0,2π)),
则x+y=2(cosα+sinα)﹣5
=2cos(α﹣)﹣5,
当cos(α﹣)=1即α=时,x+y取得最大值2﹣5,
故选:A.
知识点:*与函数的概念
题型:选择题
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