定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,(1)求f(0...
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定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,
(1)求f(0),f(1);
(2)判断函数f(x)的奇偶*,并*;
(3)若对于任意x∈[,3]都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
【回答】
解:(1)f(0)=0,f(1)=2.
(2)函数f(x)是奇函数.
*:由(1)f(0)=0,
所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈[,3]上恒成立,
所以f(kx2)<f(1-2x)在x∈[,3]上恒成立,
又因为f(x)是定义域为R的单调函数,
且f(0)=0<f(1)=2,
所以f(x)是R上的增函数.
所以kx2<1-2x在x∈[,3]上恒成立.
所以k<()2-2()在x∈[,3]上恒成立.
令g(x)=()2-2()=(-1)2-1,
由于≤x≤3,
所以≤≤2.
所以g(x)min=g(1)=-1.所以k<-1.
所以实数k的取值范围为(-∞,-1).
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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