已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当时，f(x)＞0．（...

问题详情：

已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当时，f(x)＞0．

（Ⅰ）*：f(x)在R上是增函数；

（Ⅱ）判断f(x)的奇偶*，并*；

（Ⅲ）若f(－1)＝－2，求不等式f(a2＋a－4)＜4的解集．

【回答】

解：（Ⅰ）*：设x1＜x2，则x2－x1＞0，

∵当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x2－x1)＞0，

∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在R上是增函数．  …………4分

（Ⅱ）解：在条件中，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，

再令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，故f(－x)＝－f(x)，

即f(x)为奇函数．    …………8分

（Ⅲ）解：∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝4，

∴不等式可化为f(a2＋a－4)＜f(2)，

又∵f(x)为R上的增函数，

    ∴a2＋a－4＜2，即a∈(－3，2)．                  …………12分

知识点：*与函数的概念

题型：解答题