已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.对定义域内的任意x1、x2，都有,且当x＞1时，,且  （...

问题详情：

已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.对定义域内的任意x1、x2，都有,且当x＞1时， ,且

   （1） 求*：是偶函数；

   （2） 求*：在（0,+∞）上是增函数；

   （3）解不等式

【回答】

解析:（1）因对定义域内的任意x1﹑x2都有

f（x1x2）=f（x1）+f（x2）,令x1=x,x2=-1，则有f（-x）=f（x）+f（-1）.

又令x1=x2=-1,得2f（-1）=f（1）.

再令x1=x2=1,得f（1）=0,从而f（-1）=0,

于是有f（-x）=f（x）,所以f（x）是偶函数.             …………4分

  （2）设0＜x1＜x2,则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1·）=f（x1）-[f（x1）+f（）]

=-f（）.

由于0＜x1＜x2,所以＞1,从而f（）＞0,

故f（x1）-f（x2）＜0,即f（x1）＜f（x2）,

所以f（x）在（0,+∞）上是增函数.          …………8分

（3）由于f（2）=1，所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）,

于是待解不等式可化为f（2x2-1）＜f（4）,

结合（1）（2）已*的结论，可得上式等价于

|2x2-1|＜4,

解得{x|-＜x＜,且x≠0}.       …………12分

知识点：不等式

题型：解答题