已知定义在R上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1...

问题详情：

已知定义在R上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），那么函数f（x）称为“Ω函数”．给出下列函数：

①f（x）=cosx；

②f（x）=2x；

③f（x）=x|x|；

④f（x）=ln（x2+1）．

其中“Ω函数”的个数是（　　）

A．1       B．2       C．3       D．4

【回答】

B【考点】函数单调*的*质．

【专题】函数思想；综合法；函数的*质及应用．

【分析】根据条件可以得到，对于任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，从而得出f（x）在R上为增函数，这样根据余弦函数，指数函数，二次函数，以及对数函数，复合函数的单调*判断每个函数在R上的单调*，从而便可得出“Ω函数”的个数．

【解答】解：对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立；

∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立；

∴f（x）在R上为增函数；

①f（x）=cosx在R上没有单调*，∴该函数不是“Ω函数”；

②f（x）=2x在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；

③；

∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；

∴f（x）在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；

④令x2+1=t，t≥1，则y=lnt在[1，+∞）上单调递增，而t=x2+1在R上没有单调*；

∴f（x）在R上没有单调*，∴该函数不是“Ω函数”；

∴“Ω函数”的个数是2．

故选：B．

【点评】考查增函数的定义，余弦函数、指数函数、二次函数，以及对数函数和复合函数的单调*，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数单调*的判断．

知识点：基本初等函数I

题型：选择题