设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2),且当x∈[﹣2,0]时,f(...
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设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=()x﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)有3个不同的实数根,则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,) D.(,2)
【回答】
D【考点】3L:函数奇偶*的*质;54:根的存在*及根的个数判断.
【分析】根据函数的奇偶*和对称*可以得到函数是周期函数,然后将方程转化为两个函数,利用数形结合以及两个函数图象的交点个数,求得,由此求得a的范围.
【解答】解:函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2),
∴f(x﹣2)=f(x+2)=f(2﹣x),即f(x)=f(x+4),即函数的周期是4.
当 x∈[0,2]时,﹣x∈[﹣2,0],此时f(﹣x)=()﹣x﹣1=f(x),即f(x)=2x﹣1,
且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=()x﹣1.
分别作出函数f(x)(图中黑*曲线)和y=loga(x+2)(图中红*曲线)图象如图:
由在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)有3个不同的实数根,
可得函数f(x)和y=loga(x+2)图象有3个交点,
故有,求得<a<2,
故选:D.
知识点:基本初等函数I
题型:选择题
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