设函数f(x)=x+（x≠0．且x，a∈R）．（1）判断f(x)的奇偶*，并用定义*；（2）若不等式f(2x...

问题详情：

设函数f (x)=x+（x≠0．且x，a∈R）．

（1）判断f(x)的奇偶*，并用定义*；

（2）若不等式f(2x)＜-2x++6在[0，2]上恒成立，试求实数a的取值范围；

（3）的值域为A. 函数f(x)在上的最大值为M，最小值为m，若2m>M成立，求正数a的取值范围.

【回答】

解：（1）∵，定义域为

，

所以为奇函数. ………………………………3分

（2）若不等式f（2x）＜﹣2x++6在[0，2]上恒成立，

即2x+＜﹣2x++6在[0，2]上恒成立，

即a＜﹣2（2x）2+1+62x在[0，2]上恒成立，……………5分

令t=2x，则t∈[1， 4]，y=﹣2t2+6t+1，

由y=﹣2t2+6t+1的图象是开口朝下，且以直线t=为对称轴的抛物线，

故当t=4，即x=2时，函数取最小值﹣7，故a＜﹣7；……………8分

（3）的值域为[，1]

即使得f(x)在区间[，1]上，恒有

讨论：①时 y=，在[，1]上单调递增

∴ymax=a+1，ymin=3a+

2ymin＞ymax 得……………………………………10分

②当＜a≤时，y=

在[，]上单调递减，在[，1]上单调递增，

∴ymin=2，ymax=max{3a+，a+1}=a+1，

由2ymin＞ymax得7﹣4＜a＜7+4，

∴＜a≤；

③当＜a＜1时，y=在[，]上单调递减，在[，1]上单调递增，

∴ymin=2，ymax=max{3a+，a+1}=3a+，

由2ymin＞ymax得＜a＜，

∴＜a＜1； …………………………………12分

④当a≥1时，y=在[，1]上单调递减，

∴ymin=a+1，ymax=3a+，

由2ymin＞ymax得a＜，∴1≤a＜；

综上，a的取值范围是{a|＜a＜}．

知识点：不等式

题型：解答题