.设f（x）=log2​-x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并*函数f（x）在x∈（1，+∞）...

问题详情：

.设f（x）=log2​-x为奇函数，a为常数． （1）求a的值； （2）判断并*函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调*； （3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．

【回答】

解：（1）由条件得：f（-x）+f（x）=0， ∴， 化简得（a2-1）x2=0， 因此a2-1=0，a=±1， 当a=1时，，不符合题意， 因此a=-1．   经检验，a=-1时，f(x)是奇函数. （2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数； *如下：设1＜x1＜x2＜+∞， ， ∵1＜x1＜x2＜+∞， ∴x2-x1＞0，x1±1＞0，x2±1＞0， ∵(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1) =x1x2-x1+x2-1-x1x2-x1+x2+1 ​=2(x2-x1)＞0， 又∵(x1+1)(x2-1)＞0，(x1-1)(x2+1)＞0， ∴，​， 又x2-x1＞0， ∴f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， ∴函数f(x)在x∈(1，+∞)上为单调减函数；  （3）不等式为m＜f(x)-2x恒成立， ∴m＜[f(x)-2x]min ∵f(x)在x∈[2，3]上单调递减，2x在x∈[2，3]上单调递增， ∴f(x)-2x在x∈[2，3]上单调递减， 当x=3时取得最小值为-10， ∴m∈.

知识点：基本初等函数I

题型：解答题