已知函数f（x）=x2+ax﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数...

问题详情：

已知函数f（x）=x2+ax﹣2lnx（a∈R）．

（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，求实数a的取值范围．

【回答】

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调*．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；

（2）问题转化为在区间（0，2]上恒成立，设，根据函数的单调*求出a的范围即可．

【解答】解：（1）．

当a=1时，，定义域为（0，+∞）．

其导函数为

令f'（x）＞0可得：x＞1；

令f'（x）＜0可得：0＜x＜1．

故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），

f（x）的极小值为，无极大值．

（2）f（x）的导函数为，

由函数f（x）在区间（0，2]上为减函数可得：

f'（x）≤0即x2+ax﹣2≤0在区间（0，2]上恒成立，

即在区间（0，2]上恒成立，

设，可知y=g（x）在（0，2]上单调递减，

所以a≤gmin（x）=g（2）=﹣1．

故所求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．

知识点：导数及其应用

题型：解答题