已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a<0).(1)讨论f(x)的单调*;(2)若对任意x1,x2∈(0,1]...
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已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a<0).
(1)讨论f(x)的单调*;
(2)若对任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有,求实数a的取值范围.
【回答】
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调*.
【分析】(1)求出函数的导数,根据a的范围,求出导函数的符号,从而求出函数的单调区间,
(2)将问题转化为x2﹣ax﹣4≤0在x∈(0,1]时恒成立,而函数y=x﹣在区间(0,1]上是增函数,所以y=x﹣的最大值为﹣3,从而求出a的范围.
【解答】解:(1)函数f(x)的定义域(0,+∞),f′(x)=1﹣=,
当a<0时,f'(x)>0恒成立,此时,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)当a<0时,函数f(x)在(0,1]上是增函数,
又函数y=在(0,1]上是减函数,不妨设0<x1<x2≤1,
则|f(x1)﹣f(x2)|=f(x2)﹣f(x1),|﹣|=﹣,
所以|f(x1)﹣f(x2)|<4|﹣|等价于f(x2)﹣f(x1)<﹣,
即f(x2)+<f(x1)+,
设h(x)=f(x)+=x﹣1﹣alnx+,
则|f(x1)﹣f(x2)|<4|﹣|等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数.
于是h′(x)=1﹣﹣=≤0即x2﹣ax﹣4≤0在x∈(0,1]时恒成立,
从而a≥x﹣在x∈(0,1]上恒成立,
而函数y=x﹣在区间(0,1]上是增函数,
所以y=x﹣的最大值为﹣3.
于是a≥﹣3,又a<0,所以a∈[﹣3,0).
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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