已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若f...

问题详情：

已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值； （Ⅲ）求*：  ．

【回答】

【解析】（Ⅰf′（x）=ex﹣a

∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．

a＞0时，x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（Ⅱ）：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0

即a﹣alna﹣1≥0，记g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0），∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna，∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减，∴g（a）≤g（1）=0

故g（a）=0，得a=1

（Ⅲ）*：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），则x＞0时，ln（1+x）＜x

要*原不等式成立，只需*：  ＜2，即*：  ＜1，

下*  ≤  ﹣  ①

⇔  ≤

⇔4（32k﹣2•3k+1）≥3•32k﹣4•3k+1

⇔32k﹣4•3k+3≥0⇔（3k﹣1）（3k﹣3）≥0，

①中令k=1，2，…，n，各式相加，

得  ＜（  ﹣  ）+（  ﹣  ）+…+（  ﹣  ）

=  ﹣  ＜1成立，

故原不等式成立．

知识点：推理与*

题型：解答题