已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求...

问题详情：

已知函数f（x）＝x2﹣2．

（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；

（2）函数有几个零点？

【回答】

【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣2，函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，

∴0＜x＜1时，g′（x）＝2x+2+＞0恒成立，即a＞﹣2x2﹣2x＝﹣2+，

而m（x）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m（0）＝0，∴a≥0．

（2）∵函数＝ln（1+x2）﹣（x2﹣2）﹣k＝ln（1+x2）﹣x2+1﹣k  的定义域为R，

h′（x）＝﹣x﹣0＝，令h′（x）＝0，求得x＝0，或x＝1 或x＝﹣1，

列表：

当1﹣k＞0且ln2+﹣k＞0时，即 k＜1时，函数h（x）有2个零点；

当1﹣k＝0且 ln2+﹣k＞0时，即k＝1时，函数h（x）有3个零点；

当1﹣k＜0且ln2+﹣k＞0时，即1＜k＜ln2+ 时，函数h（x）有4个零点；

 当1﹣k＜0且ln2+﹣k＜0时，即 k＞ln2+ 时，函数h（x）有没有零点．

【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调*与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．

知识点：导数及其应用

题型：解答题