已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若...

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已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．

【回答】

解：（1）∵f′（x）=，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；

（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，

∴g′（x）=．

当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．

又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；

当a＞0时，g′（x）=．

令g′（x）=0，得x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0．

因此，g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．

故函数g（x）的最大值为g（）=≤0．

令h（a）=．   则h（a）在（0，+∞）上是减函数，

∵h（1）=﹣2＜0，  ∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题