已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点A（2，2）作曲线y...

问题详情：

已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）过点A（2，2）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

【回答】

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；

（Ⅱ）求出函数的导数，计算切线的斜率，求出切线方程即可．

【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，

依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，

即，解得a=1，b=0．

（Ⅱ）：∵f′（x）=3x2﹣3，

设切点坐标为（t，t3﹣3t），

则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），

∵切线过点P（2，2），∴2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），

化简得t3﹣3t2+4=0，∴t=﹣1或t=2，

∴切线的方程：y=2或9x﹣y﹣16=0．

知识点：导数及其应用

题型：解答题