已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．   (1)求f（...

问题详情：

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．   

(1) 求f（x）的解析式；   

(2) 求过点A（2，2）的切线方程．   

【回答】

（1）解：函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c，  依题意 ， 又f'（0）=﹣3即c=﹣3       ∴a=1，b=0，        ∴f（x）=x3﹣3x （2）解：设切点为（x0  ， x03﹣3x0），  ∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3， ∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0）， 又切线过点A（2，2）， ∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0）， ∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0，    解得x0=﹣1或2， 可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9， 即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2）， 即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0                    

知识点：导数及其应用

题型：解答题