偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求...

问题详情：

偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.

【回答】

【解析】因为f(x)的图象过点P(0,1),

所以e=1.

又因为f(x)为偶函数,

所以f(-x)=f(x).

故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.

所以b=0,d=0.

所以f(x)=ax4+cx2+1.

因为函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,

所以可得切点为(1,-1),

所以a+c+1=-1.　①

因为f′(1)=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,

所以4a+2c=1.　②

由①②联立得a=,c=-,

所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.

知识点：导数及其应用

题型：解答题