已知函数f(x)＝x·lnx(e为无理数，e≈2.718)．(1)求函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方...

问题详情：

已知函数f(x)＝x·lnx(e为无理数，e≈2.718)．

(1)求函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；

(2)设实数a>，求函数f(x)在[a,2a]上的最小值．

【回答】

 (1)∵f(x)＝x·lnx，

∴x>0，f′(x)＝lnx＋1，

∵f(e)＝e，f′(e)＝2，

∴y＝f(x)在(e，f(e))处的切线方程为y＝2(x－e)＋e，

即y＝2x－e.

(2)∵f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝，

当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当a≥时，f(x)在[a,2a]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝alna，

当<a<时，a<<2a，f(x)min＝f()＝－.

知识点：导数及其应用

题型：解答题