已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的...
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已知函数f(x)=(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数,*:对任意x>0,g(x)<1+e-2.
【回答】
解析 (1)由f(x)=,
得f′(x)=,x∈(0,+∞).
由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,
所以f′(1)=0,因此k=1.
(2)由(1)得f′(x)=(1-x-xlnx),x∈(0,+∞).
令h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.
又ex>0,所以当x∈(0,1)时,f′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(3)因为g(x)=(x2+x)f′(x),
所以g(x)=(1-x-xlnx),x∈(0,+∞).
因此,对任意x>0,
g(x)<1+e-2等价于1-x-xlnx<(1+e-2).
由(2)中h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),
所以h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞).
因此,当x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2.
故1-x-xlnx≤1+e-2.
设φ(x)=ex-(x+1).
因为φ′(x)=ex-1=ex-e0,
所以当x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增,
φ(x)>φ(0)=0.
故当x∈(0,+∞)时,φ(x)=ex-(x+1)>0,
即>1.
所以1-x-xlnx≤1+e-2<(1+e-2).
因此,对任意x>0,g(x)<1+e-2.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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