已知k为实数,f(x)=(x2-4)(x+k).(1)求导数f′(x);(2)若x=-1是函数f(x)的极值点...
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已知k为实数,f(x)=(x2-4)(x+k).
(1)求导数f′(x);
(2)若x=-1是函数f(x)的极值点,求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值;
(3)若f(x)在区间(-∞,-2)和(2,+∞)上都是单调递增的,求实数k的取值范围.
【回答】
.(1)∵f(x)=(x2-4)(x+k)=x3+kx2-4x-4k,
∴f′(x)=3x2+2kx-4.
(2)∵x=-1是函数f(x)的极值点,
∴由f′(-1)=0,得3-2k-4=0,
解得k=-.
∴f(x)=x3-x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4.
由f′(x)=0,得x=-1或x=.
又f(-2)=0,f(-1)=,f()=-,f(2)=0,
∴f(x)在区间[-2,2]上的最大值为,最小值为-.
(3)∵f′(x)=3x2+2kx-4的图象是开口向上且过点(0,-4)的抛物线,
由已知,得
∴-2≤k≤2,
即k的取值范围为[-2,2].
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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