设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(...

问题详情：

设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，

且f′(1)＝0。

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值。

【回答】

得b＝－12。------------------------------6分

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，

所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，

令f′(x)＝0，

即6(x－1)(x＋2)＝0，

解得x＝－2或x＝1，

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，

即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，

即f(x)在(－2,1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

即f(x)在(1，＋∞)上单调递增。

从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，

在x＝1处取得极小值f(1)＝－6。-----------------12分

知识点：导数及其应用

题型：解答题