设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1...

问题详情：

设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.

(1)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值．

(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【回答】

解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

(1)∵x1，x2是函数f(x)的两个极值点，

∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，

即x1，x2是18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两个根，

从而x1x2＝＝1，∴a＝9.

(2)∵Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，∴不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．

知识点：导数及其应用

题型：解答题