已知函数f(x)＝(ax－x2)ex.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1...

问题详情：

已知函数f(x)＝(ax－x2)ex.

(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；

(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．

【回答】

 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(2x－x2)ex.

f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex，

＝(2－x2)ex，

令f′(x)<0，即2－x2<0，解得x<－或x>，

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．

(2)函数f(x)在(－1,1]上单调递增，

所以f′(x)≥0，对于x∈(－1,1]都成立，

即f′(x)＝[a＋(a－2)x－x2]ex≥0，对于x∈(－1,1]都成立，

故有a≥＝x＋1－，

令g(x)＝x＋1－，则g′(x)＝1＋>0，

故g(x)在(－1,1]上单调递增，g(x)max＝g(1)＝，

所以a的取值范围是[，＋∞)．

(3)假设f(x)为R的上单调函数，则为R的上单调递增函数或单调递减函数．

①若函数f(x)为R上单调递增函数，则f′(x)≥0，对于x∈R都成立，

即[a＋(a－2)x－x2]ex≥0恒成立．

由ex>0，x2－(a－2)x－a≤0对于x∈R都恒成立，

由h(x)＝x2－(a－2)x－a是开口向上的抛物线，

则h(x)≤0不可能恒成立，

所以f(x)不可能为R上的单调增函数．

②若函数f(x)为R上单调递减函数，则f′(x)≤0，对于x∈R都成立，

即[a＋(a－2)x－x2]ex≤0恒成立，

由ex>0，x2－(a－2)x－a≥0对于x∈R都恒成立，

故由Δ＝(a－2)2＋4a≤0，整理得a2＋4≤0，显然不成立，

所以，f(x)不能为R上的单调递减函数．

综上，可知函数f(x)不可能为R上的单调函数．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题