已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，...

问题详情：

已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

【回答】

(1) (－∞，0]．(2) 存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞).

【解析】

【分析】

(1)求出导函数，由题f′(x)≥0在R上恒成立，然后参变分离求解a的取值即可；

(2) 假设存在实数a，由题意易知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，再次参变分离可的结果.

【详解】(1)f′(x)＝3x2－a，

因为f(x)在R上增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．

即3x2－a≥0在R上恒成立．

即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.

当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．

所以a的取值范围是(－∞，0]．

(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，

则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．

即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，

又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.

当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，

所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，

所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)

知识点：导数及其应用

题型：解答题