设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0<a&...
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问题详情:
设f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围;
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.
【回答】
解:(1)f′(x)=-x2+x+2a=-2++2a.
当x∈时,
f′(x)的最大值为f′=+2a.
令+2a>0,得a>-.
所以当a>-时,f(x)在上存在单调递增区间,
即f(x)在上存在单调递增区间时,a的取值范围为.
(2)令f′(x)=0,得两根,所以f′(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,
在(x1,x2)上单调递增.
当0<a<2时,有x1<1<x2<4,
所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2),
又f(4)-f(1)=-+6a<0,
即f(4)<f(1).
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-=-,得a=1,x2=2,
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=.
知识点:函数的应用
题型:解答题
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