已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求*：对任意的m，n∈(0，e...

问题详情：

已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求*：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>.(注：e≈2.718 28…是自然对数的底数．)

【回答】

解析　(1)∵f(x)＝x－lnx(x>0)，∴f′．

由f(x)>0，得x>1，由f(x)<0，得0<x<1.

∴f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．

(2)由(1)知，当x∈(0，e]时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增．

∴当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝1.

∵g(x)＝(x>0)，∴g′(x)＝(x>0)．

当x∈(0，e]时，g(x)≥0，∴g(x)在(0，e]上单调递增．

∴当x∈(0，e]时，[g(x)]max＝g(e)＝.

对任意的m，n ∈(0，e]，f(m)－g(n)≥[f(m)]min－[g(n)]max＝1－>.

即*得，对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>.

知识点：函数的应用

题型：解答题