已知函数f(x)=ex.(1)求f(x)的单调区间.(2)*:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1...

问题详情：

已知函数f(x)=ex.

(1)求f(x)的单调区间.

(2)*:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

【回答】

【解析】(1)函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),

f′(x)=′ex+ex

=ex=ex.

当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).

(2)当x<1时,由于>0,ex>0,故f(x)>0;

同理,当x>1时,f(x)<0.当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,不妨设x1<x2,由(1)知,

x1∈(-∞,0),x2∈(0,1).

下面*:∀x∈(0,1),f(x)<f(-x),即*

ex<e-x.

此不等式等价于(1-x)ex-<0.

令g(x)=(1-x)ex-,

则g′(x)=-xe-x(e2x-1).

当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,从而g(x)<g(0)=0,即(1-x)ex-<0,

所以∀x∈(0,1),f(x)<f(-x).

而x2∈(0,1),所以f(x2)<f(-x2),从而f(x1)<f(-x2),由于x1,-x2∈(-∞,0),f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以x1<-x2,即x1+x2<0.

知识点：基本初等函数I

题型：解答题