已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调*；(2)...

问题详情：

已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调*；

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

【回答】

[解]　(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，

∴F′(x)＝2ax－

＝(x>0)．

①当a>0时，由ax2－1>0，得x> .

由ax2－1<0，得0<x< .

故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，

在区间上单调递减．

②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立．

故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．

(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解．

∵φ′(x)＝在(，)上为增函数，

在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，

而φ(e)＝<φ(2)＝＝＝φ()．

∴φ(x)min＝φ(e)，

如图当f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时有φ(x)min＝.

故a的取值范围为≤a<.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题