已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈[...
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已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
【回答】
解:(1)∵f(x)=2x+k·2-x是奇函数,∴f(-x)=-f(x),x∈R,
即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),
∴(1+k)2x+(k+1)22x=0对一切x∈R恒成立,
∴k=-1.
(2)∵对x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,即2x+k·2-x>2-x成立,
∴1-k<22x对x≥0恒成立.
∴1-k<(22x)min(x≥0),
又y=22x在[0,+∞)上单调递增,∴(22x)min=1,
∴k>0.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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