已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)若函数y=f(x)的图象...

问题详情：

已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.

(1)求k的值;

(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=x+b没有交点,求b的取值范围;

(3)设h(x)=log9(a·3x-a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求a的取值范围.

【回答】

解:(1)因为y=f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即对于任意x恒成立.

于是2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9-log9(9x+1)=-x恒成立,而x不恒为零,

所以k=-.

(2)由题意知方程log9(9x+1)-x=x+b即方程log9(9x+1)-x=b无解.

令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.

因为g(x)=log9=log9(1+),

由1+>1,

则g(x)=log9(1+)>0,

所以b的取值范围是(-∞,0].

(3)由题意知方程3x+=a·3x-a有且只有一个实数根.

令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-at-1=0(记为(*))有且只有一个正根.

若a=1,则t=-,不合题意,舍去.

若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.

由Δ=0⇒a=或-3.

但a=⇒t=-2,不合题意,舍去;而a=-3⇒t=.

若方程(*)的两根异号⇔(a-1)·(-1)<0⇔a>1.

综上所述,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).

知识点：基本初等函数I

题型：解答题