已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2...

问题详情：

已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.

【回答】

解:(1)因为f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,

所以-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,

解得-1<m<3.

又m∈Z,

所以m=0,1,2.

而当m=0或2时,f(x)=x3不是偶函数;

当m=1时,f(x)=x4是偶函数.

故函数f(x)的解析式为f(x)=x4.

(2)由(1)知f(x)=x4,

则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).

因为g(x)>2对任意的x∈R恒成立,

所以g(x)min>2,且x∈R.

又g(x)min=g(-1)=c-1,

所以c-1>2,解得c>3.

故实数c的取值范围是(3,+∞).

知识点：基本初等函数I

题型：解答题