.已知函数f(x)=(x2+a)ekx,e=2.718…为自然对数的底数.(1)若k=-1,a∈R,判断函数f...

问题详情：

.已知函数f(x)=(x2+a)ekx,e=2.718…为自然对数的底数.

(1)若k=-1,a∈R,判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调*;

(2)令a=0,k=1,若0<m≤2e,求*:关于x的方程f(x)-m(x+1)ln x=0无实根.

【回答】

(1)解由已知k=-1,所以f(x)=(x2+a)e-x=,

所以f'(x)='=

①若a≥1,在R上恒有u(x)=-(x-1)2+1-a≤0,

所以f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.

②若a<1,u(x)=-(x-1)2+1-a图象与x轴有两个不同交点.

设u(x)=-(x-1)2+1-a=0的两根分别为x1=1-,x2=1+

若0<a<1,则0<x1<1,x2>1,

所以当0<x<x1时,u(x)<0;当x1<x<x2时,u(x)>0;当x>x2时,u(x)<0.

所以,f(x)在(0,x1)上和(x2,+∞)上分别单调递减;在(x1,x2)上单调递增.

若a≤0,则x1=1-0,x2=1+2,

所以,当x∈(0,x2)时总有u(x)>0;当x∈(x2,+∞)时,u(x)<0.

所以f(x)在(0,x2)上单调递增,在(x2,+∞)上单调递减.

综上,若a≥1,则f(x)在(0,+∞)上为单调递减;

若0<a<1,则f(x)在(0,x1)上和(x2,+∞)上分别单调递减,在(x1,x2)上单调递增;

若a≤0,则f(x)在(0,x2)上单调递增,在(x2,+∞)上单调递减.

(2)*由题知a=0,k=1,所以f(x)=x2ex,

令g(x)=ex-(x+1),

对任意实数x>0,g'(x)=ex-1>0恒成立,

所以g(x)=ex-(x+1)>g(0)=0,

即ex>x+1>0,

则x2ex-m(x+1)lnx>x2(x+1)-m(x+1)lnx=(x+1)(x2-mlnx).

令h(x)=x2-mlnx,

所以h'(x)=(x2-mlnx)'=2x-,

因为0<m≤2e,所以h'(x)=

所以当x∈0,时,h'(x)<0;当x∈,+∞时,h'(x)>0.

所以h(x)=x2-mlnx在(0,+∞)上有最小值.

所以h=-mln1-ln.

因为0<e,所以ln1,所以1-ln0.

所以1-ln≥0,即当0<m≤2e时,对任意x>0,h(x)=x2-mlnx≥0,

所以x2ex-m(x+1)lnx>0.

所以关于x的方程f(x)-m(x+1)lnx=0无实根.

知识点：导数及其应用

题型：解答题