已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,其中e是自然对数的底...
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已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,其中e是自然对数的底数.
(1)求实数a,b的值.
(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的值域.
【回答】
【解析】(1)由f(x)=(x2+ax+b)ex,得f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex,
因为函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,
所以即解得a=-3,b=1.
(2)由(1)知f(x)=(x2-3x+1)ex,f′(x)=(x2-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex,
令f′(x)=0,得x1=-1或x2=2.f(x)与f′(x)的关系如表:
x | -2 | (-2,-1) | -1 | (-1,2) | 2 | (2,3) | 3 |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
f(x) | 11e-2 | ↗ | ↘ | -e2 | ↗ | e3 |
由上表可知,函数f(x)在区间[-2,3]上的值域是[-e2,e3].
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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