已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（...

问题详情：

已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．

（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；

（2）求h（x）的单调区间；

（3）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，*：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．

【回答】

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；

（2）求导数，利用导数的正负，求h（x）的单调区间；

（3）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可*结论．

【解答】解：（1）f（x）=的导数为=，

可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率为0，

切点为（1，），可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y=；

（2）h（x）=1﹣x﹣xlnx求导数得h′（x）=﹣1﹣（1+lnx），x∈（0，+∞），

令h′（x）=﹣2﹣lnx=0，x∈（0，+∞），可得x=e﹣2，

当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0．

因此h（x）的单调递增区间为（0，e﹣2），单调递减区间为（e﹣2，+∞）；

（2）*：因为g（x）=xf′（x）．

所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．

由h（x）=1﹣x﹣xlnx，

求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），

所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．

所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．

又当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，

所以当x∈（0，+∞）时， h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．

综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．

知识点：导数及其应用

题型：解答题