已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(...

问题详情：

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图所示.求：

(1)x0的值；

(2)a、b、c的值.

【回答】

 (1)解：由图象可知，在(-∞,1)上f′(x)>0，在(1,2)上f′(x)<0.在(2,+∞)上f′(x)>0.

故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在(1,2)上递减.

因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1.

(2)解法一：f′(x)=3ax2+2bx+c，

由f′(1)=0，f′(2)=0，f(1)=5，

得

解得a=2,b=-9,c=12.

解法二：设f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m，

又f′(x)=3ax2+2bx+c，

所以a=,b=-m,c=2m,

f(x)= x3-mx2+2mx.

由f(1)=5,即-m+2m=5,

得m=6，所以a=2,b=-9,c=12.

知识点：导数及其应用

题型：解答题