已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f...

问题详情：

已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

【回答】

解　(1)因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，

从而有f(x)＝.                                                    [4分]

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，

解得a＝2.                                                             [7分]

(2)方法一　由(1)知f(x)＝，

又由题设条件得<0，

即<0.                        [9分]

整理得>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0.                          [12分]

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，

解得k<－.                                                               [14分]

方法二　由(1)知f(x)＝＝－＋，

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，

由上式推得t2－2t>－2t2＋k.                                             [12分]

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.                                         [14分]

知识点：不等式

题型：解答题