已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0.则a的取值范围是
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已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0.则a的取值范围是
【回答】
a<-2当a=0时,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;
当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=>0,列表如下:
x | (﹣∞,0) | 0 | (0,) | (,+∞) | |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,
不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去.
当a<0时,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=<0,列表如下:
x | (﹣∞,) | (,0) | 0 | (0,+∞) | |
f′(x) | ﹣ | 0 | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,
∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,∴极小值f()=a()3﹣3()2+1>0,
化为a2>4,∵a<0,∴a<﹣2.
知识点:函数的应用
题型:填空题
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