设函数f(x)=x3﹣4x+a,0<a<2.若f(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则( ...
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问题详情:
设函数f(x)=x3﹣4x+a,0<a<2.若f(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则( )
A. | x1>﹣1 | B. | x2<0 | C. | x2>0 | D. | x3>2 |
【回答】
考点:
利用导数研究函数的极值;函数的零点.
专题:
函数的*质及应用.
分析:
利用导数研究函数的单调*,利用导数求函数的极值,再根据f (x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,求得各个零点所在的区间,从而得出结论.
解答:
解:∵函数f (x)=x3﹣4x+a,0<a<2,∴f′(x)=3x2﹣4.令f′(x)=0可得 x=.
∵当x<﹣时,f′(x)>0;在(﹣,)上,f′(x)<0;在(,+∞)上,f′(x)>0.
故函数在(∞,﹣)上是增函数,在(﹣,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数.
故f(﹣)是极大值,f()是极小值.
再由f (x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,可得 x1<﹣,﹣<x2<,x3>.
根据f(0)=a>0,且f()=a﹣<0,可得 >x2>0.
故选C.
点评:
本题主要考查函数的零点的定义,函数的零点与方程的根的关系,利用导数研究函数的单调*,利用导数求函数的极值,属于中档题.
知识点:函数的应用
题型:选择题
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