已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在（1，2）内任取两个实数x1，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成...

问题详情：

已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在（1，2）内任取两个实数x1，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（28，+∞）      B．[15，+∞）      C．[28，+∞）      D．（15，+∞）

【回答】

C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求得x1+1 和x2+1在区间（2，3）内，将原不等式移项，可得＞0，即有函数y=f（x）﹣x在（2，3）内递增．求得函数y的导数，可得y′≥0在（2，3）恒成立，即a≥2x2+3x+1在（2，3）内恒成立，求出函数y=2x2+3x+1在[2，3]上的最大值即可．

【解答】解：因实数x1，x2在区间（1，2）内，

故x1+1 和x2+1在区间（2，3）内．

不等式＞1恒成立，

即为＞0，

即有函数y=f（x）﹣x在（2，3）内递增．

函数y=f（x）﹣x=aln（x+1）﹣x2﹣x的导数为y′=﹣2x﹣1，

即有y′≥0在（2，3）恒成立．

即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）内恒成立．

由于二次函数y=2x2+3x+1在[2，3]上是单调增函数，

故x=3时，y=2x2+3x+1 在[2，3]上取最大值为28，即有a≥28，

故*为[28，+∞）．

故选：C．

知识点：导数及其应用

题型：选择题