设函数f（x）=2x2+bx+c，已知不等式的解集是（1,5）.（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x ...

问题详情：

设函数f（x）=2x2+bx+c，已知不等式的解集是（1,5）.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若对于任意x ，不等式f（x）2+t有解，求实数t的取值范围。

【回答】

解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（1，5），

∴2x2+bx+c＜0的解集是（1，5），∴1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，

由根与系数的关系知，  解得b=-12，c=10，

∴  （2）不等式f（x）≤2+t 在[1，3]有解，等价于2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，

只要t≥即可， 不妨设g（x）=2x2-12x+8，x∈[1，3]，

则g（x）在[1，3]上单调递减∴g（x）≥g（3）=-10，

∴t≥-10，∴t的取值范围为[-10，+）

知识点：不等式

题型：解答题