如图1，O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，...

问题详情：

如图1， O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F. 

（1）求*：BD=BE.   

（2）当AF：EF=3:2，AC=6时，求AE的长。   

（3）设 =x,tan∠DAE=y. 

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF,OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值

【回答】

（1）*：∵△ABC为等边三角形， 

∴∠BAC=∠C=60 .

∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60

∴∠DEB=∠D.

∴BD=BE （2）解：如图，过点A作AG⊥EC于点G. 

∵△ABC为等边三角形，AC=6，

∴BG= BC= AC=3.

∴在Rt△ABG中，AG= BG=3 .

∵BF⊥EC，

∴BF∥AG.

∵AF:EF=3:2,

∴BE= BG=2.

∴EG=BE+BG=3+2=5.

∴在Rt△AEG中，AE= . （3）解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H. 

∵∠EBD=∠ABC=60°,

∴在Rt△BEH中， =sin60 = .

∴

∴

∵BG=xBE.

∴AB=BC=2BG-2xBE.

∴AH-AB+BH=2xBE+ BE=(2x+ )BE.

∴在Rt△AHE中,tan =

y=

②如图，过点O作OM⊥EC于点M.

设BE=a.

∵

∴CG=BG=xBE=x.

∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.

∴AM= EC= a+ax.

∴BM=EM-BE=ax- a

∵BF∥AG

∴△EBF∽△EGA.

∴

∵AG= BG= ax

∴BF= AG=

∴△OFB的面积=

∴△AEC的面积=

∵△AEC的面积是△OFB的面积10倍

∴

∴

解得

∴

【考点】圆的综合题   

【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三个内角都等于60°得出∠BAC=∠C=60°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,故∠DEB=∠D,根据等角对等边得出BD=BE；  （2）如图，过点A作AG⊥EC于点G，根据等边三角形的三线合一得出BG=3，在Rt△ABG中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AG的长，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BF∥AG，根据平行线分线段成比例定理得出∶EF=BG∶EB,根据比例式即可算出EG的长，最后在Rt△AEG中，根据勾股定理即可算出AE的长；  （3）①如图，过点E作EH⊥AD于点H，在Rt△BEH中，根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出EH= ,由于BG∶EB=AF∶EF=x，故BG=xBE，AB=2xBE,最后根据AH=AB+BH表示出AH，在Rt△AHE中，根据正切函数的定义，由tan∠EAO=EH∶AH,即可建立出函数关系式；②如图，过点O作OM⊥EC于点M，设BE为a，根据BG∶EB=AF∶EF=x，得出CG=BG=xBE=ax，故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根据垂径定理得出EM的长，进而根据线段的和差表示出BM的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△EBF∽△EGA，根据相似三角形的对应边成比例表示出BF的长，根据三角形的面积计算公式分别表示出△OFB的面积及△AEC的面积，然后根据△AEC的面积是△OFB的面积的10倍建立方程，求解算出x的值，进而即可得出*。

知识点：各地中考

题型：解答题