)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C...
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)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.
(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)
【回答】
【分析】(I)联立,可得交点M,N的坐标,由曲线C:y=,利用导数的运算法则可得:y′=,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.
(II)存在符合条件的点(0,﹣a),设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=.k1+k2=0⇔直线PM,PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN.即可*.
【解答】解:(I)联立,不妨取M,N,
由曲线C:y=可得:y′=,
∴曲线C在M点处的切线斜率为=,其切线方程为:y﹣a=,化为.
同理可得曲线C在点N处的切线方程为:.
(II)存在符合条件的点(0,﹣a),下面给出*:
设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.
联立,化为x2﹣4kx﹣4a=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4a.
∴k1+k2=+==.
当b=﹣a时,k1+k2=0,直线PM,PN的倾斜角互补,
∴∠OPM=∠OPN.
∴点P(0,﹣a)符合条件.
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
知识点:导数及其应用
题型:综合题
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