先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：将“x＋y”看成整体，令x...

问题详情：

先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则

原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.

再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；

(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；

(3)求*：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．

【回答】

(1)(x－y＋1)2；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

分析：（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；(3)将原式转化为(n²+3n) 【(n+1)（n+2）】+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.

本题解析：

(1).1+2(x-y)+(x+y) ²=（x﹣y+1）2；

（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，

故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；

（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）【（n+1）（n+2）】+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1

=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n+1）2，

∵n为正整数，

∴n2+3n+1也为正整数，

∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．

点睛;本题考查了因式分解的应用，解题的关键是认真审题你，理解题意，掌握整体思想解决问题.

知识点：因式分解

题型：解答题