已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).(Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若...

问题详情：

已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1). (Ⅰ)求抛物线的表达式; (Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围; (Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.

【回答】

解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5), ∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5, 把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1, a=－1, ∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1; (Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,

∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,

当x=2时,y有最大值,最大值为y=5, ∴y的取值范围是－4≤y≤5; (Ⅲ)∵n2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,－n2＋n＋=－(n－)2＋2≤2,

∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧, ∵N(－n2＋n＋,y2),

∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2－n＋,y2),

∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,

∴①当n2－4n＋6＞n2－n＋时,即n＜时,y1＜y2;

②当n2－4n＋6=n2－n＋时,即n=时,y1=y2;

③当n2－4n＋6＜n2－n＋时,即n＞时,y1＞y2.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题