如圖，在三稜錐S－ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設PM＝AC＝1，∠ACB＝90...

問題詳情：

如圖，在三稜錐S－ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直線AM與直線SC所成的角為60°.

(1)求*：平面MAP⊥平面SAC；

(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．

                       

【回答】

(1)*　∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，

又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC.

又∵P，M是SC，SB的中點，∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，

∵PM⊂平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC.

(2)解　∵AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M－AC－B的平面角．

∵直線AM與直線PC所成的角為60°，∴過點M作MN⊥CB於N點，連接AN，

則∠AMN＝60°，在△CAN中，由勾股定理得AN＝.

在Rt△AMN中，MN＝＝·＝.   在Rt△CNM中，tan∠MCN＝＝，

故二面角M－AC－B的正切值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題