已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線交橢圓於，兩點，的周長為16，的周長為12.（1）求橢圓的標準方程與離心率；...

問題詳情：

已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線交橢圓於，兩點，的周長為16，的周長為12.

（1）求橢圓的標準方程與離心率；

（2）若直線與橢圓交於兩點，且是線段的中點，求直線的一般方程.

【回答】

 (1) 橢圓E的標準方程為，離心率 (2)

【解析】試題分析：（1）由直線交橢圓於， 兩點， 的周長為16， 的周長為12，可得， ，再結合，即可求出， ， 的值，從而求出橢圓的標準方程與離心率；（2）由（1）知，易知直線的斜率存在，設為，設，利用點差法，即可求出，從而求出直線的一般方程.

試題解析：（1）由題知，解得

∴橢圓E的標準方程為，離心率.

（2）由（1）知，

易知直線的斜率存在，設為，設,則

，

∴，

又是線段CD的中點

∴

，

故直線的方程為，化為一般形式即： .

點睛：當遇到直線與橢圓的相交弦中點問題時可以運用點差法，解得直線斜率與中點座標之間的數量關係，從而可以求出直線方程.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題