已知橢圓C：=1（a＞b＞0），定義橢圓C上的點M（x0，y0）的“伴隨點”為．（1）求橢圓C上的點M的“伴隨...

問題詳情：

已知橢圓C： =1（a＞b＞0），定義橢圓C上的點M（x0，y0）的“伴隨點”為．

（1）求橢圓C上的點M的“伴隨點”N的軌跡方程；

（2）如果橢圓C上的點（1，）的“伴隨點”為（，），對於橢圓C上的任意點M及它的“伴隨點”N，求的取值範圍；

（3）當a=2，b=時，直線l交橢圓C於A，B兩點，若點A，B的“伴隨點”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經過座標原點O，求△OAB的面積．

【回答】

（1）設N（x，y）由題意，則，

又，

∴，

從而得x2+y2=1…（3分）

（2）由，得a=2．又，得．

∵點M（x0，y0）在橢圓上，，，且，

•=（x0，y0）（，）=+=x02+，

由於，的取值範圍是[，2]…（6分）

（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），則；

1）當直線l的斜率存在時，設方程為y=kx+m，由，

得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；

 有①…（7分）

由以PQ為直徑的圓經過座標原點O可得：3x1x2+4y1y2=0；

整理得：②

將①式代入②式得：3+4k2=2m2，…（8分）

3+4k2＞0，則m2＞0，△=48m2＞0，

又點O到直線y=kx+m的距離，

丨AB丨==×=×，

∴…（9分）

2）當直線l的斜率不存在時，設方程為x=m（﹣2＜m＜2）

聯立橢圓方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，

解得m2=2，從而，（10分）

S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，

 綜上：△OAB的面積是定值．…（12分）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題